Citation:

Le 2013-03-16 11:52:00, Réseau Baden Powell a écrit :

Puisque plusieurs parmi vous aiment bien les probabilités et les statistiques, je vous propose une devinette et un paradoxe :

I) La devinette :

En considérant qu'il y a exactement 365 jours par an, et donc en éliminant les personnes éventuellement nées un 29 février, quel est le nombre minimal d'individus qu'il faut choisir au hasard dans la rue (ou dans l'amphi d'une fac) pour que l'on puisse constater que l'on a une chance sur deux que deux d'entre eux fêtent leur anniversaire le même jour ?

(vous verrez que la réponse est surprenante. Reposez vous la même question en remplaçant "une chance sur deux" par "neuf chances sur dix" puis par "99 chances sur 100")

II) Le paradoxe :
Lui, je l'adooooore !

Vous êtes confronté au dilemme suivant :
En face de vous, il y a deux enveloppes identiques, contenant chacune un chèque à votre ordre. On vous donne l'autorisation de choisir une enveloppe et d'encaisser le chèque qu'elle contient. Vous choisissez une enveloppe et vous ne l'ouvrez pas.
On vous donne alors l'information suivante : l'un des chèques correspond à une somme double de l'autre. On vous autorise, si vous le souhaitez, à reposer votre enveloppe et à prendre l'autre.

Question : Avez-vous intérêt à le faire ?

Le raisonnement

J'ai X dans mon enveloppe. Je sais que l'une des enveloppes contient le double de l'autre. Soit Y le montant de l'autre enveloppe. Alors, Y = 2X ou Y = X/2. Mon ignorance totale concernant le contenu réel de cette autre enveloppe me fait attribuer une probabilité égale (principe de la raison insuffisante de Laplace) à chaque possibilité.
Donc, probabilité(Y = 2X) = probabilité(Y = X/2) = O.5
L'espérance mathématique associée au choix de l'autre enveloppe est donc :
E(Y) = 2X(O.5) + (O.5)(X/2) = 5X/4 > X
Donc, je choisis l'autre enveloppe.

Le paradoxe

On peut le poser de multiples façons :
a) après avoir choisi l'autre enveloppe, et avant de l'ouvrir, je recommence le raisonnement et donc je rechange d'enveloppe...
b) au fur et à mesure que je change d'enveloppe, j'augmente, par un facteur 1.25 la quantité d'argent contenue dans l'enveloppe...

Toute ressemblance avec un jeu télévisé défunt et débile n'est que pure coïncidence !

Citation:

Le 2013-03-16 16:25:00, Gil des Lavras a écrit :

Pour une chance sur deux, il suffit que tu prennes deux personnes non?? Comme c'est 50-50, soit tu as du bol et elles sont nées le même jour, soit t'as pas de bol et elles ne sont pas nées le même jour , non?? Ou alors tu prends 365 personnes en te disant que c'est impossible que chacune soit née un jour différent donc qu'il y a de très fortes chances pour que certaines soient nées le même jour...? Mais c'est pas forcément une chance sur deux dans ce cas...

Citation:

Donc, probabilité(Y = 2X) = probabilité(Y = X/2) = O.5